20题我怕我没讲清楚，dot product的另一种定义是两个vector的长度再乘以cos(两个vector之间的夹角)

https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

里面geometric definition进行了说明。projection你可以理解为x垂直投影到n所在直线的vector。我们先进行x和n的dot product算出cos(x和n的夹角)乘上x的长度，这里n长度定义是1.cos(x和n的夹角)乘上x的长度告诉我们x投影的大小和方向，（实际上方向就是和n方向一样还是相反的）。最后再乘上n得到projection的vector形式。

22题我怕定义不一样，如果不一样我需要看到你们的定义再重新写。

12,31题你需要先确定我们定义一样。31题证明如果他们的和是一个subspace我给了两个证明我觉得第一个不够严谨，你可以只抄第二个也就是最后两段，or we may assume 开始的。这里用proof by contradiction,假设他们两不包括另外一个，也就是两个有自己独有的vector x and y，那 x+y 肯定不在union里面，否则x and y就不是A或者B独有的。这个证明有点绕，需要多想想。有什么其他问题随时问。